Flexibilidade e Rigidez de Pensamento na resolução de problemas

1. Sobre o que trata este texto?

Este texto é um excerto do artigo Resolução de Problemas e a rigidez formativa do pensamento, em que se discute como a Resolução de Problemas pode atuar tanto como promotora de flexibilidade quanto de rigidez de pensamento em Matemática. O foco não está em aprender a resolver um problema clássico, mas em compreender que tipo de pensamento é produzido e alimentado quando trabalhamos com problemas em sala de aula.

A reflexão nasceu de uma experiência em uma disciplina de Prática Profissional, intitulada Estratégias de Resolução de Problemas, em um curso de licenciatura em Matemática. A partir de um projeto de ensino, investigou-se de que maneira resolver um mesmo problema de diversas formas pode desencadear diferentes modos de raciocínio, contribuindo para flexibilizar – ou, se mal conduzido, reforçar – a rigidez formativa de pensamento.

2. O que é rigidez formativa de pensamento?

Com o tempo, vamos criando maneiras de pensar que “dão conta” das demandas do nosso cotidiano. Se não somos frequentemente desafiados a usar outras formas de raciocínio, acabamos recorrendo sempre aos mesmos caminhos mentais. Aos poucos, esse repertório limitado tende a se cristalizar, produzindo o que chamamos de rigidez formativa de pensamento.

Essa rigidez está intimamente ligada ao contexto em que vivemos: tipo de trabalho, relações sociais, cultura, atividades intelectuais de que participamos, entre outros fatores. Algumas profissões exigem tomada de decisão rápida, outras requerem argumentação, outras se apoiam em procedimentos repetitivos. Dependendo do ambiente em que estamos imersos, nosso cérebro passa a “economizar esforço”, acionando apenas aquilo que já funciona.

Especialistas recomendam atividades que quebrem essa rotina – palavras cruzadas, jogos, atividades artísticas, leituras desafiadoras – justamente para manter o cérebro ativo e evitar que o pensamento se torne pouco flexível. Aqui, o foco será discutir como esse processo pode ser alimentado (ou combatido) especificamente no ensino de Matemática.

3. Resolução de Problemas ao longo da vida

Se atividades que exigem raciocínios diferentes dos habituais são importantes para manter o cérebro ativo, então a Resolução de Problemas é uma candidata natural a exercer esse papel em diversos contextos, especialmente em Matemática. Porém, tudo depende de como ela é trabalhada.

Quando o estudante é convidado a interpretar situações novas, construir estratégias, justificar caminhos e confrontar ideias, os problemas funcionam como verdadeiros laboratórios de pensamento. Neles, o indivíduo experimenta, testa limites, conecta conhecimentos e aprende a lidar com a incerteza – habilidades essenciais não apenas para a escola, mas para toda a vida.

Por outro lado, se o trabalho com problemas se reduz a identificar o “tipo” de exercício e aplicar automaticamente um algoritmo já treinado, a atividade deixa de ampliar repertórios e passa a consolidar rotinas rígidas. O estudante aprende a reconhecer padrões superficiais e a “puxar da gaveta” um procedimento pronto, sem necessariamente compreender o que está fazendo.

A questão central, então, não é se usamos ou não Resolução de Problemas, mas que concepção de problema e de pensamento matemático estamos promovendo: uma concepção que abre caminhos ou que fecha o estudante em poucas trilhas cognitivas. Neste sentindo, é melhor resolver um problema de diversas maneiras do que resolver diversos problemas de uma mesma maneira.

4. Um problema clássico como laboratório de pensamento

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O objetivo aqui não é ensinar ou mostrar como resolver esse problema, mas usar esse enunciado simples como um laboratório para observar diferentes formas de raciocinar.

Em uma disciplina de licenciatura, propusemos aos estudantes que resolvessem esse mesmo problema por quantos caminhos fossem capazes de imaginar, explicitando os raciocínios e as representações usadas. A seguir, apresentamos sete estratégias que emergiram – não para serem imitadas mecanicamente, mas para discutir que tipo de pensamento cada uma favorece.

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5. Sete maneiras de resolver o mesmo problema: o que muda no pensamento?

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5.1 Contagem direta: organizar a situação mentalmente

Uma primeira estratégia consiste em imaginar as 10 pessoas na sala e organizar uma contagem sistemática: a primeira cumprimenta 9, a segunda cumprimenta 8 (pois já cumprimentou a primeira), a terceira 7, e assim por diante até chegar a 0, somando ao final 45 apertos de mãos.

O que está em jogo aqui é a capacidade de construir e controlar uma imagem mental da situação, garantindo que nenhum aperto de mão seja esquecido ou contado duas vezes. É um raciocínio ainda muito ligado ao contexto narrado, no qual o estudante precisa gerir a própria memória de trabalho.

5.2 Pessoas chegando uma a uma: pensamento recursivo

Outra forma é imaginar que as pessoas chegam aos poucos: o primeiro a chegar não cumprimenta ninguém, pois não há ninguém na sala além dele; o segundo cumprimenta 1, o que chegou primeiro; o terceiro, 2; e assim por diante até que o décimo a chegar cumprimenta 9. A soma também resulta em 45, mas a cena mental é outra: a ênfase está em como o número de apertos cresce a cada nova pessoa que chega.

Embora o cálculo seja o mesmo, o estudante experimenta um tipo de raciocínio mais recursivo, em que cada etapa se constrói a partir da anterior. Ao viver as duas experiências, ele já flexibiliza minimamente a própria forma de organizar mentalmente a situação.

5.3 Pontos e segmentos: representação visual

Podemos representar cada pessoa por um ponto do plano e cada aperto de mão por um segmento ligando dois pontos. Com 10 pontos, haveria \(10 \times 9\) ligações possíveis, mas cada aperto de mão é contado duas vezes (A–B e B–A), daí a divisão por 2, chegando novamente aos 45 apertos.

Aqui o estudante passa a articular representações mentais e visuais. Olhar para um desenho com muitos segmentos obriga a lidar com simetria, contagem organizada e dupla contagem. A mudança de registro (do verbal para o gráfico) já é um exercício contra a rigidez.

5.4 Tabela de dupla entrada: pensamento relacional

Outra estratégia é construir uma tabela 10 × 10, com as letras A, B, …, J nas linhas e colunas. Cada quadrinho representa o aperto de mão entre duas pessoas. Ao marcar apenas os quadrinhos acima (ou abaixo) da diagonal principal, evitando repetições, basta contar os quadrinhos marcados para chegar a 45.

Esse procedimento coloca em jogo uma forma de raciocínio mais relacional e abstrata: já não é necessário imaginar a reunião acontecendo, basta compreender as regras que governam a marcação dos pares na tabela. Ao mesmo tempo, há o risco de que essa representação se torne um “algoritmo de marcar quadrinhos” sem reflexão – o que exemplifica como a resolução de problemas pode também alimentar a rigidez, se usada de modo mecânico.

5.5 Tabela com busca de padrão: generalizar e justificar

Mantendo a ideia de chegadas sucessivas, podemos construir uma tabela que registrem o número de pessoas na sala, o número de apertos dados por quem acabou de chegar e o total acumulado de apertos.

Ao observar a tabela, é possível notar que o número de apertos de quem chega sempre é uma unidade a menos que o número de pessoas na sala, ou seja, \(a=n-1 \) e que o total de apertos é \(\frac{n \cdot a} {2}\), consequentemente o total de apertos de mãos pode ser calculado pela expressão $$ T = \frac{n(n-1)}{2}. $$
Nesse ponto, o problema passa a ser um campo fértil para generalização, justificativa e demonstração, aproximando-se de práticas matemáticas mais sofisticadas e, ao mesmo tempo, acessíveis a diferentes níveis de ensino.

5.6 Polígono e diagonais: conectar campos da Matemática

Se distribuirmos as 10 pessoas nos vértices de um polígono regular de 10 lados, cada aperto de mãos corresponde a um lado ou a uma diagonal. Da Geometria Plana, sabe-se que o número de diagonais de um polígono de \(n\) lados é
$$ d = \frac{n(n-3)}{2}. $$
Para \(n = 10\), temos 35 diagonais; somando os 10 lados, obtemos novamente 45.

Essa abordagem exige articular um contexto combinatório com um conhecimento geométrico prévio, além de interpretar uma fórmula em termos da situação. Conectar campos diferentes é uma forma potente de combater a rigidez, pois obriga o estudante a transitar entre significados.

5.7 Combinação de elementos: linguagem algébrica e abstração

Por fim, podemos traduzir o problema para a linguagem da Análise Combinatória: queremos saber quantos pares distintos de pessoas podem ser formados a partir de 10 indivíduos. Isso é uma combinação de 10 elementos, tomados 2 a 2:
$$ C_{10,2} = \frac{10!}{8!\,2!} = 45. $$

Perceber a estrutura combinatória do problema e aplicar corretamente a fórmula exige um raciocínio mais algébrico e simbólico. Esse tipo de abordagem está mais próximo de um ensino para a resolução de problemas, nos termos de Schroeder e Lester (1989), no qual o estudante aprende a mobilizar conceitos já formalizados para enfrentar novas situações.

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6. O que tudo isso nos diz sobre flexibilidade e rigidez?

Comparando as diferentes resoluções, percebemos que, muitas vezes, a diferença entre uma estratégia e outra é sutil. Ainda assim, cada pequena variação – na forma de organizar os dados, no tipo de representação escolhida, na presença ou não do contexto real – pode criar novas conexões entre conhecimentos que o estudante já possui e conhecimentos em construção. Portanto, quando o aluno resolve o mesmo problema por múltiplos caminhos, ele é levado a:

• revisitar ideias sob perspectivas diferentes;
• questionar se dois procedimentos diferentes produzem o mesmo resultado e por quê;
• negociar significados entre linguagem natural, desenhos, tabelas e símbolos;
• perceber que a Matemática não é apenas cálculo, mas também escolha de estratégias e argumentação.

Tudo isso contribui para um pensamento mais flexível. Mas é importante notar que as mesmas estratégias podem, em outro contexto, reforçar a rigidez – por exemplo, se forem ensinadas como “truques” prontos, sem espaço para exploração, justificativa ou dúvida. O efeito formativo não está no problema em si, mas na qualidade da experiência vivida pelo estudante.

7. Formação, vida adulta e responsabilidade docente

A flexibilização (ou rigidez) de pensamento não se decide em uma única aula, unidade ou curso. Trata-se de um processo de longo prazo, atravessado por muitos professores, múltiplos contextos e pelas escolhas de vida de cada pessoa. Nenhum docente controla sozinho esse processo, mas todos podem contribuir para que seus estudantes:

• tomem consciência da importância de exercitar o pensamento de formas variadas;
• busquem propositalmente desafios que exigem raciocínios não habituais;
• encarem erros, tentativas e mudanças de estratégia como parte do aprender.

Ao mesmo tempo, este texto chama a atenção para a responsabilidade dos professores – e, em especial, dos formadores de professores – em planejar experiências de Resolução de Problemas que vão além da aplicação mecânica de técnicas. Em muitos casos, “facilitar” demais o trabalho mental do estudante significa privá-lo do tipo de esforço que, justamente, poderia ampliar seu modo de pensar.

Em última análise, discutir rigidez formativa de pensamento é discutir que adultos estamos ajudando a formar: pessoas que reconhecem apenas um caminho possível para cada situação, ou sujeitos capazes de olhar um mesmo problema de vários ângulos, dentro e fora da Matemática.