Fundamentação Matemática: Conceitos e Afirmações

Por Nilton Cezar Ferreira

Instituto Federal de Goiás – IFG

A matemática possui em sua fundamentação dois entes de extrema importância: conceito e afirmação.

A palavra conceito pode ser entendida de diversas formas. Segundo Libâneo (2008, p. 61), “conceito é uma ação mental peculiar pela qual se efetua uma reflexão sobre um objeto que, ao mesmo tempo, é um meio de reconstrução mental desse objeto pelo pensamento”. Ele ainda acrescenta, corroborando com Seth Chaiklin, que conceito é um conjunto de procedimentos utilizados para deduzir relações particulares a partir de uma relação abstrata. Neste sentido, enfatizamos que um conceito não é um conteúdo a ser estudado, não se refere apenas às características e propriedades do objeto em estudo,  ele  é um conjunto de significados produzidos para um objeto que nos permite conhecê-lo, ou seja, identificá-lo e distingui-lo de outros objetos.

Um conceito, entendido como a construção de significados, pode ser elaborado por meio de abordagens formais (definição) ou informais (intuitivas). Na abordagem formal, as informações essenciais para a compreensão do objeto são explicitamente delineadas. Já na abordagem informal, há um processo cognitivo complexo, que envolve tanto estímulos externos quanto mecanismos internos, conduzindo o indivíduo à concepção do conceito.

A definição corresponde à designação atribuída a uma classe de objetos que compartilham uma ou mais propriedades. Assim, pode ser compreendida como uma formalização do conceito, por meio da explicitização das propriedades necessárias e suficientes para a sua identificação e compreensão pelo sujeito.

Salvo exceções, uma definição é composta por três elementos fundamentais: o termo a ser definido (o nome atribuído ao objeto), o objeto da definição (o referente nomeado) e as características do objeto (as propriedades específicas que o identificam).

Exemplo: “Número primo é todo número natural diferente de \(1\) que possui como divisores apenas o \(1\) e ele próprio.”

• O que está sendo definido? – Número primo.
• Qual é o objeto dessa definição? – Número natural.
• Quais são as características do objeto? – Ser diferente de \(1\) e apresentar apenas os divisores \(1\) e ele próprio.

1. Conceito intuitivo e objeto primitivo

Nem sempre é possível ou viável estabelecer um grupo de características necessárias para fundamentar uma definição. Isso pode ocorrer por dois motivos: primeiro, por se tratar de um objeto primitivo, ou seja, não ter elementos que o antecedem para fundamentar sua definição; segundo, pela impossibilidade de se fazer uma definição ou por estar em um contexto em que não seja viável defini-lo (por requerer uma grande quantidade de conceitos ou pela sua complexidade).

Em ambos os casos, no lugar da definição, deve-se apresentar informações capazes de promover uma compreensão desse objeto. Essas informações podem ser estabelecidas usando conhecimentos prévios do indivíduo, por meio de um ou mais exemplos, pela comparação ou relação desse objeto com algo que já seja de conhecimento desse indivíduo, por meio de representações desse objeto, etc. A compreensão (produção de significado) de um objeto obtida dessa forma é chamada de conceito intuitivo.

Para facilitar o entendimento do que seja objeto primitivo, lembre-se de que uma definição é uma denominação de um grupo de objetos que possui as mesmas características. Isto é, definir significa nomear, classificar, separar, denominar etc. um grupo de objetos, já existentes, com as mesmas propriedades. Portanto, uma definição não produz um novo objeto, apenas renomeia, classifica ou separa objetos existentes.

E o que são esses objetos? Eles também precisam estar definidos?

Buscando uma resposta para essas perguntas, considere a seguinte definição:

“Progressão aritmética é uma sequência de números reais, em que cada número dessa sequência, a partir do segundo, é a soma do anterior com um mesmo número real, denominado razão.”

• O que está sendo definido? – Progressão aritmética.
• Qual é o objeto da definição? – Sequência de números reais.
• Quais as características desse objeto? – Cada elemento, a partir do segundo, é a soma do anterior com um mesmo número real.

Assim, progressão aritmética é uma sequência de números reais. E o que é uma sequência de números reais?

Pode-se definir sequência de números reais por:

“Sequência de números reais é qualquer função definida do conjunto dos números naturais nos números reais.”

• O que está sendo definido? – Sequência de números reais.
• Qual é o objeto dessa definição? – Função.
• Quais as características desse objeto? – Associa cada número natural a um número real.

Logo, uma progressão aritmética é uma sequência de números reais, que, por sua vez, é uma função. Novamente, poderíamos perguntar: o que é uma função?

A definição de função necessitaria de um novo objeto, que precisaria estar também definido como sendo outro objeto, e assim por diante. Isso aconteceria até se chegar a um objeto em que não se poderia defini-lo, por não existir nenhum outro objeto que o antecedesse. Nesse caso, a única alternativa seria produzir um conceito intuitivo para tal objeto, e esse objeto é chamado primitivo.

Deve-se ressaltar que nem sempre será necessário começar um estudo a partir de um objeto primitivo, pois, dependendo do estágio em que se encontra o nível de conhecimento do indivíduo, isso pode ser inviável. No exemplo citado anteriormente, se o público já estudou função em cursos anteriores, pode-se admitir que esse público sabe o que é função. Se esse indivíduo sabe o que é função, então ele conhece sua definição ou possui um conceito intuitivo de função. Assim, todas as outras definições podem ser fundamentadas nesse conceito.

Outra situação que pode ocorrer é quando a definição requer uma compreensão aquém do indivíduo. Por exemplo, em estudos básicos e mesmo em alguns mais avançados, usam-se frequentemente os números reais sem defini-los, admitindo-os como sendo de conhecimento público. Isso ocorre pela dificuldade em se definir números reais.

Porém, é preciso tomar cuidado ao admitir um objeto como sendo de conhecimento público sem ter certeza de que esse público possui seu conceito intuitivo, isto é, consegue identificar esse objeto e distingui-lo de outros, de características diferentes. Sem isso, corre-se o risco de todos os novos conceitos ou definições ficarem fundamentados sobre um objeto sem significado para o indivíduo.

2. Afirmações: proposições, axiomas e teoremas

Uma afirmação é a ação de afirmar, de dizer ou admitir algo como sendo verdadeiro, estabelecendo verdades sobre a existência de características ou propriedades de um ou mais objetos.

Conceituar formalmente uma afirmação é algo difícil de ser feito. Logo, é mais fácil construir um conceito intuitivo, e isso pode ser feito observando o exemplo a seguir.

Uma formalização para afirmação, observada em termos de sentença ou proposição, pode ser vista em Filho (2007).

Exemplo 2.1. A frase “A Lua” não é uma afirmação.

A frase “A Lua é menor que a Terra” é uma afirmação.

A expressão \(2 + 5\) não é uma afirmação.

A sentença \(2 + 5 = 8\) é uma afirmação.

Proposições (ou sentenças) são afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas.

As proposições são classificadas em três tipos:

• Tautologia: é verdadeira sob todas as circunstâncias.
• Contradição: é falsa sob todas as circunstâncias. Uma contradição também pode ser denominada contra-tautologia ou contra-válida.
• Condicional (ou sentença aberta): é verdadeira apenas sob certas circunstâncias.

As tautologias e contradições são chamadas proposições insatisfatíveis. As sentenças abertas são chamadas logicamente contingentes. Não é de nosso interesse aprofundar nesse assunto. Mais informações sobre essas denominações podem ser obtidas em Capri (2002).

Exemplo 2.2. As sentenças “\(2 + 3 = 5\)” e “A Lua é menor que a Terra” são tautologias.

As sentenças “\(x + 3 > 2\)” e “O menino é menor que a menina” são condicionais.

As sentenças “\(-3 > -2\)” e “O Brasil é o maior país do mundo” são contradições.

Observação. Na Filosofia, como afirma Duran (1926), muitos pensadores não acreditam em verdade absoluta. Segundo esses pensadores, em toda afirmação o seu valor lógico depende de alguma condição.

Um conceito importante é o de axioma (ou postulado). Axioma é uma proposição admitida como verdadeira sem uma justificativa, ou seja, é uma tautologia por convenção.

Os axiomas, em geral, são afirmações relativas a objetos primitivos e são admitidos como verdade pela impossibilidade de serem justificados, visto que são afirmações referentes a objetos sem definição. Eles são ponto de partida para a construção de um novo estudo ou de uma nova teoria. Se uma teoria é fundamentada sobre um grupo de axiomas, ela é denominada axiomatizada.

Exemplo 2.3. A geometria euclidiana é uma teoria axiomatizada fundamentada em cinco grupos de axiomas relativos aos objetos primitivos ponto, reta e plano. Um dos axiomas dessa geometria é: “existe ponto na reta e ponto fora da reta”. O grupo completo de axiomas que fundamentam a geometria euclidiana pode ser encontrado em Barbosa (1985).

Teorema é uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro, sob certas condições (hipóteses), e esse valor lógico possui uma justificativa formal. Essa justificativa é denominada prova ou demonstração.

Um teorema se divide, em geral, em duas partes:

• Hipóteses: são as condições (afirmações) sob as quais o valor lógico do teorema é verdadeiro;
• Tese: é a afirmação efetiva feita pelo teorema.

Exemplo 2.4. “A soma de dois números ímpares é um número par.”

• Hipóteses: \(x\) e \(y\) são ímpares.
• Tese: \(x + y\) é par.

Outras denominações relacionadas aos teoremas:

• Lema: teorema usado para demonstrar outro teorema de maior importância.
• Corolário: teorema obtido como consequência de outro teorema.
• Propriedade: atributo de algum objeto. A afirmação da existência desse atributo constitui-se em um teorema cuja demonstração, em geral, é consequência da definição desse objeto. Dessa forma, uma propriedade não é um teorema e, portanto, não pode ser demonstrada; porém, a existência (ou não) de uma propriedade se constitui em um teorema.

Observação. Muitos textos (livros, artigos, entre outros) usam a palavra proposição como sinônimo de teorema.

3. Considerações finais

Discutir conceitos, afirmações, axiomas e teoremas é, em última instância, discutir a própria forma como a Matemática é construída e ensinada. Conceitos, sejam eles apresentados por meio de definições formais ou de aproximações intuitivas, organizam o campo de objetos com os quais trabalhamos. Afirmações, por sua vez, expressam relações, propriedades e regularidades que reconhecemos nesses objetos.

Na prática escolar, muitas dificuldades dos estudantes decorrem de lacunas nessa fundamentação: definem-se objetos sem garantir que haja um conceito intuitivo minimamente consolidado; utilizam-se resultados como “propriedades” sem explicitar seu estatuto de teorema; trabalham-se axiomas como se fossem verdades “óbvias”, sem discutir seu papel de ponto de partida convencional para uma teoria. Com isso, perdem-se oportunidades importantes de desenvolver o pensamento lógico, a argumentação e a compreensão do que torna a Matemática um campo de conhecimento específico.

Para uma educação matemática voltada à formação de concepções mais flexíveis e críticas, é fundamental explicitar esses níveis de fundamentação: reconhecer quando estamos lidando com objetos primitivos, quando um resultado depende de hipóteses bem delimitadas, quando uma afirmação é apenas condicional e quando estamos assumindo um axioma por convenção. Ao tornar visíveis esses aspectos, ajudamos estudantes e professores a compreender que a Matemática não é apenas um conjunto de regras prontas, mas uma construção teórica que articula definições, axiomas, teoremas e provas em torno de problemas e significados.

Referências

BARBOSA, J. L. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM, 1985.

CAPRI, A. Os caminhos da razão. Goiânia: Hagaprint, 2002

DURAN, W. História da Filosofia. São Paulo: Record, 1926.

FILHO, D. C. de M. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG, 2007.

LIBÂNEO, José C. Didática e epistemologia: para além do embate entre a didática e as didáticas específicas. In: VEIGA, Ilma P. A. e d’Ávila, Cristina (orgs.). Profissão docente: novos sentidos, novas perspectivas. Campinas: Papirus Editora, 2008).